در سیستم‌های کنترل غیرخطی، یکی از نمونه‌های متداول، سیستم فنر و دمپر (spring-damper system) است که به توضیح دینامیک و کنترل حرکت اجسام پرداخته و در مهندسی مکانیک و مهندسی کنترل مورد استفاده قرار می‌گیرد.

سیستم فنر و دمپر

یک سیستم فنر و دمپر شامل یک فنر و یک دمپر است که به عنوان اجزای زیر یک مدل دینامیکی برای جابجایی یا کنترل حرکت استفاده می‌شود. نیروی حاصل از فنر معمولاً متناسب با جابجایی xx به صورت Fs=−kxFs=−kx و نیروی دمپر به عنوان متناسب با سرعت vv به صورت Fd=−cvFd=−cv تعریف می‌شود، که در آن kk و cc به ترتیب ثابت فنر و ثابت دمپر هستند. 

معادله حرکت اصلی این سیستم به صورت زیر است:

                                                                  md2xdt2+cdxdt+kx=0mdt2d2x+cdtdx+kx=0

چرخه‌های حدی (Limit Cycles)

چرخه‌های حدی در سیستم‌های غیرخطی، به حالات پایداری اشاره دارند که در آن سیستم به یک رفتار تکراری یا دورانی دست می‌یابد، حتی اگر نقاط ابتدایی آن متفاوت باشد. این پدیده معمولاً در سیستم‌هایی که غیرخطی هستند، مشاهده می‌شود.

مثال:

در یک سیستم فنر و دمپر که در شرایط خاصی تنظیم شده باشد (به عنوان مثال، دمپر را به صورت غیرخطی طراحی کنیم)، می‌توان چرخه‌های حدی را مشاهده کرد. اگر یک نیروی مداوم به سیستم اعمال شود و مشخصات سیستم (مانند سختی فنر و ضریب دمپر) به گونه‌ای باشد که باعث ناهمواری در خمیدگی یا تداخل نیروی واکنشی شود، ممکن است سیستم به یک حالت چرخشی یا نوسانی پایدار در یک مسیر خاص برسد.

منابع

برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد این نوع سیستم‌ها و چرخه‌های حدی، می‌توانید به منابع زیر مراجعه کنید:

  1. Nonlinear Dynamics and Chaos by Steven H. Strogatz
  2. Applied Nonlinear Control by Jean-Jacques E. Slotine و Weiping Li
  3. مقالاتی در مجلات IEEE و ASME که به بررسی سیستم‌های فنر و دمپر و تحلیل چرخه‌های حدی پرداخته‌اند، مانند:
    • "Limit Cycle of Nonlinear Vibration Systems" – IEEE Transactions on Automatic Control
    • "Nonlinear Dynamics of a Spring-Damper System" – Journal of Sound and Vibration

این مراجع می‌توانند به شما در درک بهتر سیستم‌های کنترل غیرخطی و پدیده چرخه‌های حدی کمک کنند.