حل یک تمرین از کتاب کنترل غیرخطی اسلوتین

در سیستم زیر نقاط تعادل را پیدا کنید و پایداری آنها را تعیین کنید .نشان دهید که آیا پایداری مجانبی و یا اینکه کلی است ؟                                                                                                                                                                                                                                 x'= -x³ + sin⁴x

برای پیدا کردن نقاط تعادل و تعیین پایداری آنها در این سیستم، ابتدا معادله‌ی دیفرانسیلی زیر را داریم:

                                                                                                                                                                      x′=−x³+sin⁴(x)

مرحله ۱: پیدا کردن نقاط تعادل

نقاط تعادل سیستم زمانی به دست می‌آیند که x′=0 باشد، یعنی:  

                                                                                                                        x³+sin⁴(x)=0-

یا

                                                                                                                        x³=sin⁴(x)    

این معادله را باید حل کنیم تا مقادیر x را بیابیم که در آن‌ها x′=0 باشد.

مرحله ۲: تعیین پایداری نقاط تعادل

برای تعیین پایداری نقاط تعادل، می‌توانیم از مفهوم پایداری لیاپانوف استفاده کنیم و مشتق سیستم نسبت به x را در این نقاط بررسی کنیم:

                                                                                                                               3x²+4sin³(x)cos(x)=f′(x)=d/dx(−x³+sin⁴(x))-

پایداری هر نقطه تعادل وابسته به علامت f′(x) در آن نقطه است. اگر f′(x)<0، نقطه تعادل پایدار است (پایداری مجانبی)، و اگر f′(x)>0، نقطه تعادل ناپایدار است.

مرحله ۳: بررسی پایداری کلی

برای این کار باید بررسی کنیم که آیا سیستم در همه نقاط مجانبا به یک نقطه تعادل خاص می‌رود یا خیر، که این نیازمند بررسی رفتار سیستم در نزدیکی تمام نقاط تعادل است.

حل دقیق تر مساله :

برای حل دقیق‌تر مسئله و بررسی پایداری کلی سیستم، مراحل زیر را گام به گام توضیح می‌دهیم:

معادله اصلی

معادله دیفرانسیلی که داریم به این شکل است:

                                                         x′=−x³+sin⁴(x)

۱. پیدا کردن نقاط تعادل

نقاط تعادل سیستم زمانی به دست می‌آیند که x′=0 باشد. پس باید معادله زیر را حل کنیم:

                                                                                                 x³+sin⁴(x)=0-

یا به عبارت دیگر:

                  x³=sin⁴(x) 

این معادله غیرخطی است و به سادگی قابل حل نیست، اما به راحتی می‌توان دید که x=0 یکی از نقاط تعادل است. برای یافتن نقاط تعادل دیگر، بیایید رفتار توابع x³ و sin4(x) را در اطراف x=0 بررسی کنیم. 

از آنجا که برای مقادیر کوچک x، تابع sin4(x) نزدیک به x⁴ رفتار می‌کند، بنابراین در نزدیکی x=0، این معادله تقریباً فقط در x=0 برقرار است. همچنین، x³ سریع‌تر از sin⁴(x) رشد می‌کند، بنابراین انتظار داریم که هیچ نقطه تعادل دیگری (به جز x=0) برای مقادیر بزرگ‌تر x وجود نداشته باشد.

بنابراین، تنها نقطه تعادل در این سیستم x=0 است.

۲. تعیین پایداری نقطه تعادل x=0

برای تعیین پایداری نقطه تعادل x=0، مشتق معادله را نسبت به x محاسبه می‌کنیم:

                                                                                             f(x)=−x³+sin⁴(x)

مشتق f(x) نسبت به x به صورت زیر خواهد بود:

                                                          f′(x)=d/dx(−x³+sin⁴(x))=−3x²+4sin³(x)cos(x) 

اکنون f′(x) را در نقطه تعادل x=0 ارزیابی می‌کنیم: 

                                                   f′(0)=−3(0)2+4sin³(0)cos(0)=0 

این نتیجه نشان می‌دهد که x=0 به طور مستقیم پایدار یا ناپایدار نیست، چراکه مشتق در نقطه تعادل صفر است. برای بررسی دقیق‌تر پایداری، می‌توانیم از آنالیز لیاپانوف یا تحلیل مرتبه بالاتر استفاده کنیم. 

۳. تحلیل پایداری با استفاده از تیلور سری

برای اینکه بفهمیم x=0 پایدار است یا نه، می‌توانیم به گسترش تیلور تابع در نزدیکی x=0 نگاه کنیم.